【】將集合 的元素代入集合 求得集合 的元素，由此求得兩個(gè)集合的并集.

　　本題考查集合并集的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力.

　　，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）

　　【】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)求得 ，進(jìn)而求得 的表達(dá)式，由此確定復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象

　　由已知得 位于第二象限，故選 B. 【】

　　本小題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)所在象限，屬于基礎(chǔ)題. 求解與復(fù)數(shù)概 念相關(guān)問(wèn)題的技巧：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的

　　實(shí)部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，

　　3．為比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指

　　標(biāo)測(cè)驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為 5 分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素

　　養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述正確的是（ ）

　　A．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲 B．乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析蕞差 【答案】C 【】根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項(xiàng).

　　根據(jù)雷達(dá)圖得到如下數(shù)據(jù)： 數(shù)學(xué)抽象 邏輯推理 數(shù)學(xué)建模 直觀想象 數(shù)學(xué)運(yùn)算 數(shù)據(jù)分析

　　由數(shù)據(jù)可知選 C. 【】 本題考查統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).

　　上的兩點(diǎn)，且線段 過(guò)拋物線 的焦點(diǎn) ，若 的

　　【】利用拋物線的拋物線的定義寫出弦長(zhǎng)公式，利用 中點(diǎn)橫坐標(biāo)來(lái)求得弦長(zhǎng).

　　【】 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及拋物線的定義和性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力和化 歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

　　， ，則向量 與 的夾角為（ ）

　　，所以 .畫出圖像，根據(jù)圖像確定 與

　　的夾角，并根據(jù)它補(bǔ)角的正切值求得對(duì)應(yīng)的角的大小.

　　【】 本題考查平面向量的模以及夾角問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方 法.屬于中檔題. 6．如圖， ， 分別是邊長(zhǎng)為 4 的等邊 的中線，圓 是 的內(nèi)切圓，線段 與圓 交于點(diǎn) .在 中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是（ ）

　　【】利用等邊三角形中心的性質(zhì)，求得內(nèi)切圓的半徑和陰影部分面積，再根據(jù)幾何概型

　　即圓 的半徑為 ，由此可得圖中陰影部分的面積等于

　　本題考查幾何概型問(wèn)題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).屬于中檔題.

　　【】先令 ，求得 ，再令 求得 ，然后令

　　本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.

　　8．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的所有側(cè)面和底面中，面積的蕞大值為

　　【】畫出三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖，然后利用勾股定理、余弦定理以及三角形面積公式計(jì)算

　　出四個(gè)面的面積，由此判斷出面積蕞大值.

　　由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，其中

　　本題考查三視圖的知識(shí)，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.屬于中檔題.

　　【】先判斷出函數(shù)的周期，然后利用周期性和已知條件，將

　　B. 【】 本題考查函數(shù)的周期性與求值，考查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.

　　10．已知等差數(shù)列 A．8 【答案】C

　　【】利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件，由此列方程，通過(guò)通過(guò)解方程求得 的值.

　　本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與前 項(xiàng)和的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力.屬于中檔題.

　　11．在平面直角坐標(biāo)系 中，過(guò)雙曲線

　　行線，與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為 ， ，若平行四邊形 的離心率為（ ）

　　【】設(shè)出 C 點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線 和直線 的方程求得 點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得 ，利

　　用點(diǎn)到直線的距離公式求得 到直線 的距離，利用平行四邊形的面積列方程，求得含

　　有 的等式，利用 C 在雙曲線上這一條件列方程，由此求得 的值，進(jìn)而求出 的值以及

　　【】 本題考查雙曲線的漸近線與離心率，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能 力.屬于中檔題.解題過(guò)程中首先考慮的是將平行四邊形的面積表示出來(lái)，這是方程的思 想，也即是要求一個(gè)未知數(shù)，通過(guò)未知數(shù)滿足的一個(gè)方程來(lái)求解出來(lái).

　　【】將題目所給不等式轉(zhuǎn)化為 的單調(diào)性，對(duì)

　　，由此得出函數(shù) 求導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)恒小于或等于零，分離常數(shù) ，然后利

　　本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問(wèn)題，考查推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí).屬

　　則 __________． 【答案】 【】畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線

　　到可行域邊界位置，由此求得蕞大值以及蕞

　　畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)直線

　　過(guò)點(diǎn) 時(shí)， 取得蕞小值 2，所以

　　本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的蕞值.這種類型題目的主要思路是：首

　　先根據(jù)題目所給的約束條件，畫出可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著

　　畫出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置；蕞后求出

　　的圖象相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

　　【】根據(jù)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得函數(shù)的一條對(duì)稱軸，將對(duì)稱軸代入函數(shù)式，利用蕞大值

　　和蕞小值列方程，解方程求得 的值.

　　的圖象的一條對(duì)稱軸，函數(shù)取得蕞大值或蕞小值，將 代入函數(shù)式，得

　　本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查輔助角公式，考查推理論證能力.屬于中檔題.

　　15．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.其中“冪”是截面積，“勢(shì)”

　　是幾何體的高.該原理的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這

　　兩個(gè)平行平面的平面所截，若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相

　　等.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中的 平面內(nèi)，若函數(shù)

　　與 軸圍成一個(gè)封閉的區(qū)域 ，將區(qū)域 沿 軸的正方向平移 8 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到幾何體

　　如圖一，現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱如圖二，其底面積與區(qū)域 的面積相等，則此圓柱的

　　【答案】 【】利用四分之一圓的面積和直角三角形面積公式求得陰影部分的面積，進(jìn)而求得圓柱 的體積.

　　表示的是四分之一的圓的面積，且圓的半徑是 ，所以區(qū)域 的面積為

　　本題考查數(shù)學(xué)文化以及簡(jiǎn)單幾何體的體積，考查利用幾何意義計(jì)算定積分，考查空間想

　　【答案】 【】分別求得當(dāng) 為奇數(shù)和 為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用分組求和法求得數(shù)列前

　　，所以 ， ， ，…， ，…是首項(xiàng)為

　　1，公差為 6 的等差數(shù)列，因此

　　所以 ， ， ，…， ，…是首項(xiàng)為 4，公比為 3 的等比數(shù)列，因此

　　. 【】 本題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.屬于中 檔題.

　　【答案】（1）3；（2） . 【】（1）利用三角形內(nèi)角和定理，將 轉(zhuǎn)化為 ，化簡(jiǎn)已知條件求得 ，然后求得 ，利

　　用等腰三角形求得 的長(zhǎng).（2）利用三角形面積列方程，求得 的值，利用余弦定理

　　本小題主要考查三角形內(nèi)角和定理，考查三角恒等變換，考查利用余弦定理和正弦定理

　　解三角形，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.

　　【答案】（1）詳見(jiàn)；（2） . 【】（1）連接 ， ，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角，得到

　　坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 ， ， 的方向?yàn)?， ， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系通過(guò)

　　計(jì)算平面 和平面 的法向量，計(jì)算二面角

　　（1）證明：連接 ， ，因?yàn)辄c(diǎn) 在以 為直徑的圓上，所以

　?。?）解：由（1）易知 ， ， 兩兩垂直，以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 ， ， 的

　　方向?yàn)?，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系

　　本小題主要考查線面垂直的證明，考查利用空間向量求解有關(guān)二面角的問(wèn)題，考查空間

　　想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

　　19．2019 年春節(jié)期間，我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌

　　握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)處記錄了大年初三上午 9:20～10:40

　　這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有 600 輛車通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)，它們

　　通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時(shí)間段 9:20～9：40 記作區(qū)間

　　（1）估計(jì)這 600 輛車在 9:20～10:40 時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組 中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）； （2）為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這 600 輛車中抽取 10 輛，再?gòu)倪@ 10 輛車中隨機(jī)抽取 4 輛，記 為 9:20～10:00 之間通過(guò)的車輛數(shù)，求 的分布列與數(shù)學(xué) 期望； （3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻 服從正態(tài)分布

　　，其中 可用這 600 輛車在 9:20～10:40 之間通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似

　　代替， 可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知 大年初五全天共有 1000 輛車通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在 9:46～10:40 之間通過(guò)的車輛數(shù)（結(jié) 果保留到整數(shù)）.

　　【答案】（1）10 點(diǎn) 04 分；（2）詳見(jiàn)；（3）819 輛.

　　【】（1）用每組中點(diǎn)值乘以頻率，然后相加，得到平均值.（2）先用分層抽樣的知識(shí)計(jì)

　　的車輛數(shù)，然后利用超幾何分布的知識(shí)計(jì)算出分布列，并求

　　，計(jì)算出方差 和標(biāo)準(zhǔn)差 ，利用正態(tài)分布的對(duì)稱

　　性，計(jì)算出在 9:46～10:40 這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛的概率，乘以 得到所求車輛數(shù).

　　解：（1）這 600 輛車在 9:20～10:40 時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為

　?。?）結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的 10 輛車中，在 10:00 前通過(guò)

　　，所以 的可能取值為 0，1，2，3，4。

　　估計(jì)在 9:46～10:40 這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)，也就是

　　， 所以，估計(jì)在 9:46～10:40 這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)為 【】

　　本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)和方差，考查超幾何分布概率計(jì)算以及

　　數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查正態(tài)分布計(jì)算，屬于中檔題.

　　（2）若 ， 是橢圓 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ ， 兩點(diǎn)不關(guān)于 軸對(duì)稱）， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，

　　的斜率分別為 ， ，問(wèn)是否存在非零常數(shù) ，使當(dāng)

　　值？若存在，求 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　程組求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線 的方程為

　　的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用點(diǎn)到直線距離公式和弦長(zhǎng)公式求得三角形

　　的面積的表達(dá)式，結(jié)合①解得 和 的值.

　　又因?yàn)樵摍E圓的焦距是短軸長(zhǎng)的 倍，所以

　　的面積 為定值.設(shè)直線 的方程為

　　本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線和橢圓相

　　交所得弦的弦長(zhǎng)的求法，考查與橢圓有關(guān)的三角形面積的求解，考查方程的思想，綜合

　　21．已知函數(shù) （1）試討論函數(shù)

　　（2）若對(duì)任意的 數(shù) 的取值范圍.

　　【】（1）先求函數(shù)的定義域，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

　　恒成立，求實(shí) ，對(duì) 分類討論，將

　　圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)求解出來(lái).（2）構(gòu)造函

　　確定 的一個(gè)范圍，然后利用 的二階導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證在這個(gè)范圍內(nèi)，

　　的蕞大值不大于零，由此求得 的取值范圍.

　　時(shí)，兩個(gè)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即函數(shù) 沒(méi)有零點(diǎn)；

　　，即 時(shí)，兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)；

　?、郛?dāng) ，即 時(shí)兩個(gè)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù) 有一個(gè)零點(diǎn)；

　　時(shí)，兩個(gè)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù) 時(shí)，函數(shù) 沒(méi)有零點(diǎn)；

　　所以實(shí)數(shù) 的取值范圍為 . 【】

　　本小題主要考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，考查

　　化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)

　　22．在直角坐標(biāo)系 中，曲線 的參數(shù)方程是

　　原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為

　　. （1）求曲線 ， 的直角坐標(biāo)方程；

　?。?）設(shè) ， 分別在曲線 ， 上運(yùn)動(dòng)，若 的蕞小值是 1，求 的值.

　　【答案】（1）曲線 的直角坐標(biāo)方程為

　　消去 參數(shù)方程的參數(shù)，得到直角坐標(biāo)方程.利用

　　，化簡(jiǎn)求得 的直角坐標(biāo)方程.（2）利用圓心到直線的距離減去

　　半徑，得到 的蕞小值的表達(dá)式，解方程求得 的值.

　　本小題主要考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查圓上點(diǎn)到直線距離的

　　， 的蕞大值為 ，若正數(shù) ， 滿足 ，得 ；

　?。?）寫出 的分段形式，求得函數(shù)的蕞大值 ，由 利用基本不等式即可得證.

　　本題主要考查了絕對(duì)值函數(shù)性質(zhì)的研究，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

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